✳️ Boolean Algebra (बूलियन बीजगणित)
✅ Definition (परिभाषा)
English:
Boolean Algebra is a mathematical system for the manipulation of variables that have two possible values: True (1) and False (0).
Hindi:
बूलियन बीजगणित एक गणितीय प्रणाली है जिसमें वेरिएबल के दो ही मान होते हैं: सत्य (1) और असत्य (0)।
Here are bilingual (Hindi and English) notes on the concepts mentioned in the image:
1. Binary-valued Quantities (द्वैध-मूल्य राशियाँ)
- English: These can take only two values: 0 and 1.
- Hindi: ये केवल दो मान ले सकती हैं: 0 और 1।
2. Boolean Variable (बूलियन चर)
- English: A variable that can have only two values: true (1) or false (0).
- Hindi: एक ऐसा चर जो केवल दो मान रखता है: सत्य (1) या असत्य (0)।
3. Boolean Constant (बूलियन स्थिरांक)
- English: The constants 0 and 1 used in Boolean algebra.
- Hindi: बूलियन बीजगणित में प्रयुक्त 0 और 1 स्थिरांक होते हैं।
4. Boolean Operators: AND, OR, NOT (बूलियन ऑपरेटर: AND, OR, NOT)
- AND (और): Returns 1 only if both inputs are 1.
- Hindi: जब दोनों इनपुट 1 हों तभी 1 लौटाता है।
- OR (या): Returns 1 if at least one input is 1.
- Hindi: यदि कोई भी एक इनपुट 1 हो तो 1 लौटाता है।
- NOT (नहीं): Inverts the input value.
- Hindi: इनपुट मान को उलट देता है (0 को 1 और 1 को 0)।
5. Truth Table (सत्य तालिका)
- English: A table showing all possible inputs and corresponding outputs of a logic gate or expression.
- Hindi: एक तालिका जो सभी संभावित इनपुट और उनके संबंधित आउटपुट को दिखाती है।
6. Closure Property (समापन गुणधर्म)
- English: Applying a Boolean operator to Boolean values gives a Boolean result.
- Hindi: बूलियन मानों पर बूलियन ऑपरेटर लागू करने पर बूलियन मान ही प्राप्त होता है।
In digital electronics, the closure property means that when a logic operation is performed on inputs from a specific set of values, the result is also within that same set. This ensures that the output of a digital circuit remains predictable and consistent. For example, if you only consider binary values (0 and 1), the AND operation will always produce either 0 or 1 as output, thus satisfying the closure property.
7. Commutative Law (परिवर्तनीय विधि)
- English: A + B = B + A and A • B = B • A
- Hindi: A + B = B + A तथा A • B = B • A
8. Associative Law (सांघातिक विधि)
- English: A + (B + C) = (A + B) + C and A • (B • C) = (A • B) • C
- Hindi: A + (B + C) = (A + B) + C तथा A • (B • C) = (A • B) • C
9. Identity Law (पहचान विधि)
- English: A + 0 = A and A • 1 = A
- Hindi: A + 0 = A तथा A • 1 = A
10. Inverse Law (विलोम विधि)
- English: A + A’ = 1 and A • A’ = 0
- Hindi: A + A’ = 1 तथा A • A’ = 0
11. Principle of Duality (द्वैतता का सिद्धांत)
- English: Replacing + with • and 0 with 1 (and vice versa) gives the dual expression.
- Hindi: + को • और 0 को 1 से बदलने पर द्वैतीय समीकरण प्राप्त होता है।
12. Idempotent Law (स्वत: साम्य विधि)
- English: A + A = A and A • A = A
- Hindi: A + A = A तथा A • A = A
13. Distributive Law (वितरण विधि)
- English: A • (B + C) = A • B + A • C
- Hindi: A • (B + C) = A • B + A • C
14. Absorption Law (अवशोषण विधि)
- English: A + A • B = A and A • (A + B) = A
- Hindi: A + A • B = A तथा A • (A + B) = A
15. Involution Law (आवृत्ति विधि)
- English: (A’)’ = A
- Hindi: (A’)’ = A
16. DeMorgan’s Laws (डि मॉर्गन के नियम)
- English:
- (A + B)’ = A’ • B’
- (A • B)’ = A’ + B’
- Hindi:
- (A + B)’ = A’ • B’
- (A • B)’ = A’ + B’
Here is the bilingual (English + Hindi) explanation of the newly visible content from the image:
1. Sum of Product (SOP) and Product of Sum (POS)
English:
- SOP: A Boolean expression in the form of OR of ANDs (e.g., A•B + A’•C).
- POS: A Boolean expression in the form of AND of ORs (e.g., (A + B) • (A’ + C)).
Hindi:
- SOP (गुणन का योग): ऐसा बूलियन व्यंजक जिसमें AND के समूहों का OR होता है।
उदाहरण: A•B + A’•C - POS (योग का गुणन): ऐसा बूलियन व्यंजक जिसमें OR के समूहों का AND होता है।
उदाहरण: (A + B) • (A’ + C)
2. Obtaining SOP and POS from Truth Table
English:
- From the truth table, write SOP for all output rows with output = 1.
- Write POS for all output rows with output = 0.
Hindi:
- ट्रुथ टेबल में जहाँ आउटपुट 1 होता है, वहाँ के लिए SOP रूप बनाते हैं।
- जहाँ आउटपुट 0 होता है, वहाँ के लिए POS रूप बनाते हैं।
3. Reducing Boolean Expression (SOP and POS) to Minimal Form
English:
- Simplify expressions using Boolean laws or Karnaugh Maps to make circuits efficient.
Hindi:
- बूलियन नियमों या कर्णॉ मैप का उपयोग करके SOP और POS व्यंजकों को सरलतम रूप में लाया जाता है जिससे सर्किट को अधिक कुशल बनाया जा सके।
4. Karnaugh Map (K-Map) for Minimisation
English:
- A graphical method to minimize Boolean expressions (up to 4 variables efficiently).
Hindi:
- यह एक ग्राफिकल विधि है जिससे 4 वेरिएबल्स तक के बूलियन व्यंजकों को सरलतम रूप में बदला जा सकता है।
5. Basic Logic Gates (NOT, AND, OR, NAND, NOR)
English:
- NOT: Inverts input
- AND: Outputs 1 only if both inputs are 1
- OR: Outputs 1 if at least one input is 1
- NAND: Inverse of AND
- NOR: Inverse of OR
Hindi:
- NOT (नॉट): इनपुट को उलटता है
- AND (एंड): दोनों इनपुट 1 होने पर ही आउटपुट 1
- OR (ओर): किसी एक इनपुट के 1 होने पर आउटपुट 1
- NAND (नैंड): AND का विलोम
- NOR (नॉर): OR का विलोम
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